求椭圆上任意一点P的曲率半径

Highflybird · 发表于 2013-5-8 18:26:23

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求椭圆上任意一点P的曲率半径。

实际上是求椭圆上的点的转弯半径。

QJCHEN的图片：

焦点半径.gif

这是几何作图法：

Highflybird · 发表于 2013-5-8 18:30:56

一般称

为曲线在某一点的曲率半径。
几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。
应用举例：求

上任一点的曲率及曲率半径（T5-30）
解：由于：

所以：

，

我这个画椭圆曲率半径的方法其实可以推广到二次曲线中去，我通过验证，证明了Qjchen和我得到的结果是一样的。

XDSoft · 发表于 2016-6-27 14:34:52

Highflybird 发表于 2013-5-8 18:30
一般称为曲线在某一点的曲率半径。
几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线 ...

ARX曲线实体的二阶导数向量的长度就是曲率半径。下面代码画出拾取点的曲率圆

(defun c:tt()
(if (setq e (xdrx_entsel "\n拾取椭圆：" '((0 . "ellipse"))))
(progn
(setq p (trans (cadr e) 1 0))
(setq second (xdrx_getpropertyvalue (car e) "getsecondderiv" p t)
first (xdrx_getpropertyvalue (car e) "getfirstderiv" p)
)
(xdrx_prompt "\n曲率半径是：" (xdrx_vector_length second))
(setq r (xdrx_vector_length second)
cen (mapcar '+ p (xdrx_vector_product (xdrx_vector_perpvector first) r))
)
(xdrx_circle_make cen r)
)
)
(princ)
)

XDSoft · 发表于 2016-6-27 14:36:46

每度一个的曲率圆的样子：

搜狗截图20160627142803.png

(defun c:tt ()
(if (setq e (car (xdrx_entsel "\n拾取椭圆：" '((0 . "ellipse")))))
(progn
(setq pts (xdrx_getsamplept e 360))
(mapcar
'(lambda (x)
(setq second (xdrx_getpropertyvalue e "getsecondderiv" x t)
first (xdrx_getpropertyvalue e "getfirstderiv" x)
)
(setq r (xdrx_vector_length second)
cen (mapcar
'+
x
(xdrx_vector_product (xdrx_vector_perpvector first) r)
)
)
(xdrx_circle_make cen r)
)
pts
)
)
)
(princ)
)

XDSoft · 发表于 2016-6-27 14:41:45

椭圆曲率圆圆心轨迹，漂亮的蝴蝶结。
搜狗截图20160627143525.png

(defun c:tt (/ pts1)
(if (setq e (car (xdrx_entsel "\n拾取椭圆：" '((0 . "ellipse")))))
(progn
(setq pts (xdrx_getsamplept e 360))
(mapcar
'(lambda (x)
(setq second (xdrx_getpropertyvalue e "getsecondderiv" x t)
first (xdrx_getpropertyvalue e "getfirstderiv" x)
)
(setq r (xdrx_vector_length second)
cen (mapcar
'+
x
(xdrx_vector_product (xdrx_vector_perpvector first) r)
)
)
(setq pts1 (cons cen pts1))
)
pts
)
(xdrx_polyline_make pts1 t)
)
)
(princ)
)

Highflybird · 发表于 2017-8-11 11:45:56

XDSoft 发表于 2016-6-27 14:34

注意!!!!!! SecondDeriv不是代表曲线的曲率！！！！所以XDSoft的求得的不是椭圆的曲率。
椭圆的曲率应通过下面方法求解:

;;;=============================================================
;;;功能: 获取椭圆上一点处的曲率和转弯半径
;;;参数: 椭圆实体和椭圆上的一点
;;;返回: 此处离心圆圆心、转弯半径及其曲率（离心率）
;;;说明: 如果要在CAD中几何作图，可以参考此贴：
;;; http://bbs.mjtd.com/thread-62980-1-1.html
;;;=============================================================
(defun ELL:GetCurvature (en pt / dxf maj rat a b p par x y k v1 v2 rad cen)
(setq dxf (entget en))
(setq maj (cdr (assoc 11 dxf)))
(setq rat (cdr (assoc 40 dxf)))
(setq a (distance '(0 0) maj))
(setq b (* a rat))
(setq p (vlax-curve-getclosestpointto en pt))
(setq par (vlax-curve-getParamAtPoint en p))
(setq v1 (vlax-curve-getFirstDeriv en par))
(setq v2 (list (- (cadr v1)) (car v1) (caddr v1)))
(setq x (* a (cos par)))
(setq y (* b (sin par)))
(setq k (expt rat 4))
(setq rad (/ (expt (+ (* y y) (* k x x)) 1.5) rat rat b b))
(setq cen (polar p (angle '(0 0 0) v2) rad))
(list cen rad (/ 1 rad))
)

;;;============================================================= 
;;;功能: 获取椭圆上一点处的曲率和转弯半径                        
;;;参数: 椭圆实体和椭圆上的一点                                  
;;;返回: 此处离心圆圆心、转弯半径及其曲率（离心率）             
;;;说明: 如果要在CAD中几何作图，可以参考此贴：                   
;;;      <a href=\"http://bbs.mjtd.com/thread-62980-1-1.html\" target=\"_blank\">http://bbs.mjtd.com/thread-62980-1-1.html</a>               
;;;============================================================= 
(defun ELL:GetCurvature (en pt / dxf maj rat a b p par x y k v1 v2 rad cen) 
  (setq dxf (entget en)) 
  (setq maj (cdr (assoc 11 dxf))) 
  (setq rat (cdr (assoc 40 dxf))) 
  (setq a   (distance '(0 0) maj)) 
  (setq b   (* a rat)) 
  (setq p   (vlax-curve-getclosestpointto en pt)) 
  (setq par (vlax-curve-getParamAtPoint en p)) 
  (setq v1  (vlax-curve-getFirstDeriv en par)) 
  (setq v2  (list (- (cadr v1)) (car v1) (caddr v1))) 
  (setq x   (* a (cos par))) 
  (setq y   (* b (sin par))) 
  (setq k   (expt rat 4)) 
  (setq rad (/ (expt (+ (* y y) (* k x x)) 1.5) rat rat b b)) 
  (setq cen (polar p (angle '(0 0 0) v2) rad)) 
  (list cen rad (/ 1 rad)) 
)

Highflybird · 发表于 2017-8-11 12:15:30

这个才是椭圆的曲率中心轨迹，它不是蝴蝶结。

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