三角形内三个最大的圆

aimisiyou

如何从一已知三角形内裁出三个同半径的圆且使得圆半径最大？有兴趣大家可以讨论其算法，如果有作图实现的方法那就更好了。

qqqincccken

这么高深厚感情的东西期待大神的解答

aimisiyou

\(先考虑直角三角形情况。\\显然，圆半径最大时，其中两圆与较长的直角边相切。（如右图）\\ 可得关系式：\)\\
\((b-(3+ctg\frac{A}{2})r)^2+(a-(1+ctg\frac{B}{2})r)^2=4r^2\)，即\((b-(3+\frac{a}{c-b})r)^2+(a-(1+\frac{b}{c-a})r)^2=4r^2\)\(例如勾三股四弦五可得左图r=\frac{ab}{a+3b+c}=0.6,右图r=\frac{25}{41}>0.6\)

aimisiyou

再考虑钝角三角形情况。分两种状况比较，取圆半径较大值。如图。

aimisiyou

最后是锐角三角形情况。有两种状况须比较，取其中圆半径较大值。如图。

aimisiyou

下面分析下尺规作图问题。已知三角形ABC，角A对应边长为a,角B对应边长为b,角C对应边长为c,现指定一边不妨令为AB，能否用尺规作图作两同半径圆，满足两圆相切且均于AB相切，且分别与邻边相切？根据条件可得\(r=\frac {c}{\root  \of {\frac {(b+c)^2-a^2}{a^2-(b-c)^2}} + \root  \of {\frac {(a+c)^2-b^2}{b^2-(a-c)^2}}+2 }\)，故可以尺规作图实现。

aimisiyou

将角A、角B、角C按由小到大的顺序排列（如图），其中角B对应的边AC与两圆相切，   \(r=\frac {c}{4cosA+ctg\frac{A}{2}+ctg\frac{B}{2}}\)

aimisiyou

(defun c:tt()
  (vl-load-com)
  (setq p1 (getpoint) p2 (getpoint) p3 (getpoint))
  (command "pline" p1 p2 p3 "c")
  (setq lst (vl-sort  
                    (mapcar '(lambda (x) (cons (apply 'distance (vl-remove x (list p1 p2 p3))) (list x))) (list p1 p2 p3))
                   '(lambda(a b) (<= (car a) (car b)))
             )
   )
   (setq a  (car (car lst))
         b  (car (cadr lst))
         c  (car (caddr lst))
         m  (+ a b c)
         n  (- (+ b c) a)
         r  (/  c
               (+ (/ (* 2 m n) (* b c))
                 -4
                 (sqrt (/ (* m n)(* (- (* 2 c) n) (- (* 2 b) n))))
                 (sqrt (/ (* m (- (* 2 c) n))     (* n (- (* 2 b) n))))
                )
            )
         d1 (/ r (sqrt (- 1 (/ (* m n) (* 4 b c)))))
         d2 (/ r (sqrt (- 1 (/ (* m (- (* 2 c) n)) (* 4 a c)))))
         pt (list (/ (+ (* a (car (cadr (car lst))))  (* b (car (cadr (cadr lst))))  (* c (car (cadr (caddr lst)))))   (+ a b c))
                  (/ (+ (* a (cadr (cadr (car lst)))) (* b (cadr (cadr (cadr lst)))) (* c (cadr (cadr (caddr lst)))))  (+ a b c))
             )
   )
  (command "circle" (cadr (car lst)) d1 "")
  (setq ent1 (entlast))
  (command "line" (cadr (car lst)) pt "")
  (setq ent2 (entlast))
  (command "circle" (cadr (cadr lst)) d2 "")
  (setq ent3 (entlast))
  (command "line" (cadr (cadr lst)) pt "")
  (setq ent4 (entlast))
  (setq center_1 (vlax-safearray->list
                              (vlax-variant-value
                                      (vla-intersectwith (vlax-ename->vla-object ent1)
                                                         (vlax-ename->vla-object ent2)
                                                          1
                                       )
                               )
                   )
   )
  (setq center_2 (vlax-safearray->list
                              (vlax-variant-value
                                      (vla-intersectwith (vlax-ename->vla-object ent3)
                                                         (vlax-ename->vla-object ent4)
                                                          1
                                       )
                               )
                   )
   )
   (command "circle" center_1 r "")
   (command "circle" center_2 r "")
   (command "circle" center_1 (* 2 r) "")
   (setq ent5 (entlast))
   (command "circle" center_2 (* 2 r) "")
   (setq ent6 (entlast))
   (setq center_3 (vlax-safearray->list
                              (vlax-variant-value
                                      (vla-intersectwith (vlax-ename->vla-object ent5)
                                                         (vlax-ename->vla-object ent6)
                                                          1
                                       )
                               )
                   )
   )
  (setq center_3_1 (list (nth 0 center_3)(nth 1 center_3)))
  (setq center_3_2 (list (nth 3 center_3)(nth 4 center_3)))
  (if (< (+ (distance center_3_1 (cadr (car lst))) (distance center_3_1 (cadr (caddr lst))) )   
         (+ (distance center_3_2 (cadr (car lst))) (distance center_3_2 (cadr (caddr lst))) )
       )
           (command "circle" (list (nth 0 center_3)(nth 1 center_3)) r "")
           (command "circle" (list (nth 3 center_3)(nth 4 center_3)) r "")
   )
  (vla-delete (vlax-ename->vla-object ent1))
  (vla-delete (vlax-ename->vla-object ent2))
  (vla-delete (vlax-ename->vla-object ent3))
  (vla-delete (vlax-ename->vla-object ent4))
  (vla-delete (vlax-ename->vla-object ent5))
  (vla-delete (vlax-ename->vla-object ent6))
)

aimisiyou

查了下vla-intersectwith函数，其中最后一个参数ExtendOption有四个选项：acExtendNone、acExtendThisEntity、acExtendOtherEntity、acExtendBoth。但我用了数值1代替acExtendNone，运行也无误。不知这四个选项与数值有何关联？