圆锥曲线在AutoCAD的精确表达法

Highflybird

圆锥曲线有三类：椭圆、抛物线和双曲线。
椭圆在AutoCAD的画法为众人熟知，我现在说说剩下的两类。
１、抛物线。
如果熟悉三维建模的，可以创建一个三维的圆锥体，然后用section命令得到圆锥曲线的轮廓。
炸开这个轮廓，可以得到一个精确的圆锥曲线，这个方法有点费时，不好操作。
现在通过举例讲解抛物线的另一个画法。
画：y＝a*x^2　，区间段为(-1,1)。
输入命令:spline回车

当前设置: 方式=拟合   节点=弦
指定第一个点或 [方式(M)/节点(K)/对象(O)]: m         <-----在这里输入m
输入样条曲线创建方式 [拟合(F)/控制点(CV)] <拟合>: cv   <-----在这里输入CV
当前设置: 方式=控制点   阶数=3
指定第一个点或 [方式(M)/阶数(D)/对象(O)]: d        <-----在这里输入d
输入样条曲线阶数 <3>:                   <-----在这里输入2，形成2阶的样条曲线。                    
（上面的这些设置输入一次址后，CAD下次可以不用输入了）

当前设置: 方式=控制点   阶数=2
指定第一个点或 [方式(M)/阶数(D)/对象(O)]:
输入下一个点:                                 <-----捕捉第一点坐标为(-1,a)。
输入下一个点或 [放弃(U)]:               <-----捕捉第二点坐标为(0,-a)。
输入下一个点或 [闭合(C)/放弃(U)]:  <-----捕捉第三点坐标为(1,a)。

回车。
这样就得到了一条抛物线，这是一条精确的抛物线，不是拟合出来的，读者可以自行验证。
其它形式的方程，均可由此平移和旋转变换得到。如果大家有兴趣，不妨参考相关知识。
譬如下面的链接：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/91649187

２、双曲线。
双曲线与抛物线的画法类似，也是要设置为二阶样条曲线，方式为控制点的模式。
举例：画双曲线x^2-y^2=1,区间为(-2,2)
先画半边。
输入spline, 像抛物线那样设置，如果已经设置好了，回车即可。
要依次输入这三点，这三点坐标是A(２,sqrt(3)), C(0.5,0),B(２,-sqrt(3))
输入后，回车。
下面的步骤可能在属性里面操作容易写。
选取刚才形成的样条曲线，ctrl+1打开属性面板，在属性的当前控制点设置为2，即C点。
把权值－１修改为２，那么，这样就形成了右半边，镜像一下，得到左半边。
所需双曲线绘制完成。

上面的属性修改也可以用splinedit命令来完成
选择开始默认形成的样条曲线，输入splinedit或者双击。
命令: _splinedit
输入选项 [闭合(C)/合并(J)/拟合数据(F)/编辑顶点(E)/转换为多段线(P)/反转(R)/放弃(U)/退出(X)] <退出>: e
输入顶点编辑选项 [添加(A)/删除(D)/提高阶数(E)/移动(M)/权值(W)/退出(X)] <退出>: w
输入新权值 (当前值 = 1.00000000) 或 [下一个(N)/上一个(P)/选择点(S)/退出(X)] <下一个>:
输入新权值 (当前值 = 1.00000000) 或 [下一个(N)/上一个(P)/选择点(S)/退出(X)] <下一个>: 2　　　<-----在这里输入2，把第二点的权值修改为２。  
输入新权值 (当前值 = 2.00000000) 或 [下一个(N)/上一个(P)/选择点(S)/退出(X)] <下一个>: x
输入顶点编辑选项 [添加(A)/删除(D)/提高阶数(E)/移动(M)/权值(W)/退出(X)] <退出>: x
输入选项 [闭合(C)/合并(J)/拟合数据(F)/编辑顶点(E)/转换为多段线(P)/反转(R)/放弃(U)/退出(X)] <退出>: x

分析：
由曲线方程可知，曲线经过(２,sqrt(3))和(２,-sqrt(3))两点，这两点可作为样条的两个端点。
经过计算，可知在点(２,sqrt(3))双曲线的切线斜率为２Ｘsqrt(3)／３,交X轴线于C(0.5,0)点，又可知曲线经过Ｄ(１,０)点
所以权值为DE/CD=1/0.5=2，因此控制点C的权值要输入２.

３、总结方法，
a、首先找到曲线的两个端点（一般做对称的好些，不对称区间可以用对称区间画出，后期用裁剪命令修剪）作为第一个控制点和第三个控制点。
b、第二点为首位两个端点的切线相交点。
c、计算和修改权值，得到需要曲线。权值大于1为双曲线，等于1为抛物线，小于1为椭圆。读者自行验证。

如果读者觉得步骤麻烦，可以用简单的LISP程序来生成。

4、关于证明，大家可以参考样条曲线的知识，经过验证，用三个控制点的时候，二阶样条曲线的方程表达完全一致。
有什么不足的地方请大家多多指教。
转载此文需标明原作者和来源。
后续，下面我补充对于一般的双曲线的画法(以a=5,b=3为例）：


关于其原理不再赘述了。
另外利用LISP程序绘制抛物线和双曲线，请参考如下链接：
用LISP绘制精确的抛物线和双曲线

Highflybird

后注：
通过研究，发现可以作出高阶的曲线，譬如作 在区间(0,1)上y=x^5的多项式曲线。
把区间(0,1)等分成5等分，用spline画样条曲线，阶数设置为5，
从原点开始，依次通过4个等分点，到达最后的控制点为(1,1)，
这样就得到了所需曲线。

不过随着阶数的升高，精度会有所降低。不过依然可以达到一般需要。

Highflybird

现增加双曲线的一般画法，并提供LISP绘制程序。