环绕数

newer · 发表于 2016-6-21 00:54:23

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本帖最后由 newer 于 2016-6-21 01:30 编辑

在数学中，环绕数（linking number）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。

环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。

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这样 (2,4)-环面链环的两条曲线的环绕数是 4。

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定义[编辑]

空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数：

{\displaystyle \cdots } 登录/注册后可看大图	登录/注册后可看大图	登录/注册后可看大图	登录/注册后可看大图
	环绕数 -2	环绕数 -1	环绕数 0
		登录/注册后可看大图	登录/注册后可看大图	登录/注册后可看大图	{\displaystyle \cdots }
		环绕数 1	环绕数 2	环绕数 3

每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。

计算环绕数[编辑]

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六个正交叉与两个负交叉，这两条曲线的环绕数为 2。

存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。按如下法则将每个交叉标记为“正”或“负” [1]：

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正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即

环绕数=\frac{n_1+n_2-n_3-n_4}{2}

这里 n1, n2, n3, n4 分别表示四类交叉数的个数。两个和n_1+n_3与n_2+n_4

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总相等[2]。这样得到了如下另外的公式

环绕数=n_1-n_4=n_2-n_3

注意到n_1-n_4只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而n_2-n_3

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只涉及到上交叉。

性质与例子[编辑]

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怀特黑德链环两条曲线环绕数为零。

任何两条没有链接起来的曲线相交数为零。但环绕数为零的两条曲线仍可能是链接起来的（例如右图的怀特黑德链环（Whitehead link））。
逆转任何一条曲线的定向，环绕数改变符号；但两条曲线同时逆转定向，环绕数不变。
环绕数具有手征性：取一个链环的镜像，环绕数改变符号。我们对正环绕数的约定基于右手法则。
x-y 平面上一条定向曲线的卷绕数等于它与 z-轴（将 z-轴想象为三维球面中一条闭曲线）的环绕数。
更一般地，如果其中一条曲线是简单的，则这个分支的第一同调群同构于整数 Z。在此情形，环绕数由另一条曲线的同调类决定。
在物理学中，环绕数是拓扑量子数之一例，它与量子纠缠有关。

高斯的积分定义[编辑]

给定两条不交可微曲线 \gamma_1,\gamma_2:s^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}，定义从环面到单位球面高斯映射 \Gamma为

\Gamma(s,t)=\frac{\gamma_1(s)-\gamma_2(t)}{\left | \gamma_1(s)-\gamma_2(t) \right |}

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取单位球面上一点 v，从而链环的正交投影到垂直于 v 的平面给出一个链环图表。观察到点 (s, t) 在高斯映射下映为 v 对应于链环图表中一个交叉，这里 \gamma_1 在\gamma_2上。并且 (s,t) 的一个邻域在高斯映射下映为 v 的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于 v 的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖 v 的带符号次数。由于v 是一个正则值，这恰是高斯映射的度数（即 Γ 的像盖住球面的带符号次数）。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。

曲线 γ1 与 γ2 的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式，即高斯环绕积分：

环绕数={\displaystyle {}\,=\,{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}).}

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这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积（被积函数是 Γ 的雅可比矩阵），然后除以球面的面积（等于 4π）。

推广[编辑]

就像三维中环绕的闭曲线，任何两个维数为 m 与 n 的闭流形，可能在 {\displaystyle m+n+1}

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维欧几里得空间中环绕起来。任何这样链环有一个相伴的高斯映射，其度数是环绕数的推广。
任何标架纽结（framed knot）有一个自环绕数，得自计算纽结 C 与将曲线 C 中的点沿着标架向量稍微移动得到一条新曲线的环绕数。由铅直移动（沿着黑板标架）得到的自环绕数称为考夫曼自环绕数（Kauffman's self-linking number）。

另见[编辑]

注释[编辑]

^ 这与计算一个纽结的翻滚数（writhe）时使用的标记是一致的，不过此情形我们只需标记涉及两条曲线的交叉。
^ 如果其中一条曲线是简单的，这由若尔当曲线定理得到。例如，如果蓝曲线是简单的，则 n1 + n3 与 n2 + n4 表示红曲线向内与向外穿过蓝曲线所围区域的次数。

参考文献[编辑]

A.V. Chernavskii, Linking coefficient, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
-, Writhing number, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

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