把矩形分割为面积相同但形状各不相同的小矩形

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Using your Head is Permitted 数学谜题站的主持人 Michael Brand 某日收到了来自 R. Nandakumar 的一个谜题：是否有可能把一个矩形剖分成若干个小矩形，使得每个小矩形的形状互不相同，但它们的面积都一样？没有想到，从这个问题出发，加上一些非常机智巧妙的分析与构造，我们能得到越来越多有意思的东西。于是，它就变成了 Using your Head is Permitted 今年 3 月的谜题。看了谜题的答案后，我也被彻底折服，决定把这一系列的思考重述在此，和大家一同分享。为了简便起见，下面的“矩形剖分方案”一律指的是把一个大矩形分割成若干个小矩形的方案。
    让我们先来看一个无关的问题。如果一个矩形剖分方案中不含“子矩形”，我们就说这是一个基本的矩形剖分方案。一个基本的矩形剖分中可能含有多少个小矩形？最平凡的当然是含有 2 个小矩形的基本矩形剖分，最典型的则是含有 5 个小矩形的基本矩形剖分。
      
    对后者继续扩展，我们还能得到含有 7 个小矩形、 8 个小矩形的基本矩形剖分。事实上，对于所有 n = 2 、 n = 5 和 n ≥ 7 的情况，恰好含有 n 个小矩形的基本矩形剖分都是存在的，它们都可以看作是把小矩形螺旋状一圈一圈向外摆放得到的结果。我们下面证明，含有其他数量的小矩形不可能成为基本的矩形剖分方案。这个结论可以用繁冗的分类讨论甚至是计算机程序枚举来完成。我们尽可能用简单巧妙的方法，让证明变得更加可读一些。不感兴趣的读者可以跳过。
    考虑某个矩形剖分方案中所有的水平线段。我们把整个大矩形最下面和最上面的两条边叫做边界线段，把其余的水平线段叫做内部线段，并计算这些内部线段一共有多少个不同的纵坐标，把不同纵坐标的个数记作 m 。注意到，如果小矩形的个数 n > 2 ，那么一条边界线段绝不可能被某个小矩形完全霸占（否则会产生子矩形）。每条边界线段一定都被分给了至少两个小矩形。另外，每条内部线段一定都共享给了三个小矩形。如果某条内部线段只被一上一下两个小矩形所用，这两个小矩形就已经构成了子矩形。
    于是我们得到，所有小矩形累计有至少 4 + 3m 条水平边。由于每个小矩形有两条水平边，因此小矩形的个数应该满足 n ≥ (4 + 3 m) / 2 。
    如果 m ≥ 3 ，则 n ≥ 7 ；如果 m = 2 ，则 n ≥ 5 。另外， m 是不可能等于 1 的，如果矩形剖分里所有的内部线段都在同一个水平位置，那么或者这是一整条从左至右拦腰截断大矩形的线段，从而导致子矩形的出现；或者是一条没能连通左右边界，在中间断开过的线段，这意味着存在一个从上到下贯通整个大矩形的小矩形，同样会导致子矩形的出现。
    为了完成我们的证明，我们只剩下 m = 2 并且 n = 6 的情况有待讨论。对竖直边应用相同的推理，可知在此情况下，竖直边也只能有两种不同的横坐标。换句话说，整个矩形剖分只分三层，只有三列，以下面这个 3 × 3 正方形为“模子”。
      
    我们需要把这 9 个格子划作 6 个小矩形，因而至少 3 个小矩形只占一个格子。不妨把这种只占一个格子的小矩形叫做孤立矩形吧。首先，各边中间的格子（即 B 、 D 、 F 、 H）都不能成为孤立矩形。比如，如果 B 是孤立矩形的话，那么 A 、 D 不得不合成一个小矩形， C 、 F 也不得不合成一个小矩形，于是 B 和 E 或者 E 所在的小矩形就构成了子矩形。其次，同侧两个角上的格子也不能同时成为孤立矩形。如果 A 和 C 是孤立的，那么 B 必须和 E 组合起来，从而 A 和包含了 D 的小矩形将构成子矩形。最后，孤立矩形也不能是 A 、 E 、 I 或者 C 、 E 、 G ，否则剩下的形状至少也要被划成 4 个小矩形，总的小矩形个数会超过 6 个。这下，我们便排除了所有的情况。
    因此，当且仅当 n = 2, 5, 7, 8, 9, … 时，才存在包含 n 个小矩形的基本矩形剖分。

    我们准备好回答本文开头提出的问题了：是否有可能把一个矩形剖分成若干个小矩形，使得每个小矩形的形状互不相同，但它们的面积都一样？自然地，我们更希望找到最简单的、所含小矩形最少的剖分。首先注意到，如果满足条件的矩形剖分包含有子矩形，则这个子矩形同样满足条件。因此，小矩形个数最少的剖分方案必须得是基本的。因此， n 为 3 、 4 、 6 的情况都不用再考虑了。显然，把一个矩形分成面积相等的两个小矩形，它们必然全等，因此 n =2 也就不用考虑了。我们下面要考虑的是 n = 5 的情况。
    注意到 n = 5 的基本剖分只能发生在 m = 2 的情况下，因而它仍然是以上图中的九宫格为模子的。据此容易验证，如果把镜像也考虑进来的话，本质不同的剖分就只有一种，就是本文最开头给出的那个图（这里就不再证明了）。为了找出一个所有小矩形面积都相等的剖分，我们假设中间那个小矩形的高为 1 ，宽为 x ，从而小矩形的面积也都得是 x 了。再假设紧邻其右的小矩形宽为 y ，于是所有小矩形的宽和高都能顺次表示出来了：
   
    可惜的是，求解 x 和 y 的关系，却发现这个方程没有正数解：
   
    对 n = 7 的情况可以做出类似的分析：
   
    不过这一次，方程有解了：
   
    Using your Head is Permitted 给出的解答精心选择了 1 、 x 和 y 的值，使得整个大矩形恰好是一个单位正方形，并且此时所有小矩形正好都互不全等，如下图所示：
   
    其实这个图历史上已经有人研究过了。它叫做 Blanche's Dissection ，可以参见这里。
    我们最后的问题就是，对于哪些其他的 n ，小矩形面积都相同但形状互不相同的剖分仍然存在呢？答案是，对于其他所有大于 7 的 n ，满足要求的剖分都是存在的。当 n = 8 时，只需要在上图的最顶部摞一个占满整个宽度并且面积相同的小矩形。当 n = 9 时，则在 n = 8 的构造解的左边加一个占满整个高度并且面积相同的小矩形，以此类推。每一个新加上去的小矩形，其宽度（或者高度）都超过了之前的所有小矩形，因此不会直接与之前的小矩形全等。但是，万一这个新小矩形的宽度恰好等于之前某个小矩形的高度呢？由于所有小矩形的面积都相等，这就意味着前者的高度也将正好等于后者的宽度，这也会导致两个小矩形全等。会不会出现这样的情况还真不敢肯定，不过即使出现了这样的情况，我们也有一个非常巧妙的方法来挽救局面。我们可以对整个矩形进行任意的拉伸（甚至改变原来的长宽比），所有小矩形的面积仍然是相同的。保持整个矩形的高度不变，调整整个矩形的宽度，使得每个小矩形的宽度都不等于任意一个小矩形的高度（比如说，直接把矩形拉到足够宽，使得最小的宽都比整个大矩形的高度更长）。这样一来，所有大于等于 7 的 n 都有了构造解。
    不过，问题并没有就此结束。还有哪些本质不同的构造解？是否存在一个有理的解？这都是非常有趣的话题。