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[精彩文萃] 齐次坐标经典解释

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发表于 2013-5-29 08:06:12 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底,只见大部分的书中说道“齐次坐标在仿射变换中非常的方便”,然后就没有了后文,今天在一个叫做“三百年重生”的博客上看到一篇关于透视投影变换的探讨的文章,其中有对齐次坐标有非常精辟的说明,特别是针对这样一句话进行了有力的证明:“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一,它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易用于进行仿射(线性)几何变换。”—— F.S. Hill, JR。

     由于作者对齐次坐标真的解释的不错,我就原封不动的摘抄过来:
    对于一个向量v以及基oabc如下图:


可以找到一组坐标(v1,v2,v3),使得
v = v1 a + v2 b + v3c         (1)

而对于一个点p,则可以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得
po = p1 a + p2 b + p3 c            (2)

从上面对向量和点的表达,我们可以看出为了在坐标系中表示一个点(如p),我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移,即一个向量——
p – o(有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量),我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p:
p = o + p1 a + p2 b + p3 c     (3)

(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出,虽然都是用代数分量的形式表达向量和点,但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7),谁知道它是个向量还是个点!
我们现在把(1)(3)写成矩阵的形式:


这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵,右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样,向量和点在同一个基下就有了不同的表达:3D向量的第4个代数分量是0,而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。

“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一,它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易用于进行仿射(线性)几何变换。”—— F.S. Hill, JR
这样,上面的(1, 4, 7)如果写成(1,4,7,0),它就是个向量;如果是(1,4,7,1),它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换:

(1)从普通坐标转换成齐次坐标时

   如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);
   如果(x,y,z)是个向量,则变为(x,y,z,0)

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时

   如果是(x,y,z,1),则知道它是个点,变成(x,y,z);
   如果是(x,y,z,0),则知道它是个向量,仍然变成(x,y,z)

以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知,对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换,平移变换只对于点才有意义,因为普通向量没有位置概念,只有大小和方向。这可以通过下面的式子清楚的看到:


而旋转和缩放对于向量和点都有意义,你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出,齐次坐标用于仿射变换非常方便。

此外,对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz),有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w),其中w不等于零。比如,P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7, -0.1)等等。因此,如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同一个非零数w,然后增加第4个分量w;如果把一个齐次坐标转换成普通坐标,把前三个坐标同时除以第4个坐标,然后去掉第4个分量。
由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念,使得平移变换可以使用矩阵进行,从而如F.S. Hill, JR所说,仿射(线性)变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法,因此更加促进了齐次坐标使用,使得它似乎成为图形学中的一个标准。

   以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中,很多已经被封装的好的API也是很有研究的,要想成为一名专业的计算机图形学的学习者,除了知其然必须还得知其所以然。这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源,从而解决问题。

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发表于 2013-5-30 13:21:51 | 显示全部楼层
“要想成为一名专业的计算机图形学的学习者”

学习者还有“专业”和“业余”之分?!   这水太深了

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发表于 2013-5-31 16:03:19 | 显示全部楼层
非常好的 我很喜欢ya
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发表于 2016-4-13 15:52:46 | 显示全部楼层
很流畅,很给力,无阅读难度
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发表于 2016-4-24 21:18:27 来自手机 | 显示全部楼层
本帖最后由 /db_自贡黄明儒_ 于 2016-4-25 08:06 编辑

我都把线性代数和其它所有的书都买了,总共买了8元多
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