椭圆作图题，等腰三角形切椭圆

Highflybird

从别处看到的，有兴趣的试试这个题目的解决办法。

aimisiyou

定义等腰三角形三个顶点，在椭圆外的顶点为P，切点为C，椭圆中心为O。\\根据椭圆的极点、极线结论可知，切点C为斜边OP的中垂线与P的极线的交点，\\
设OP=d,则P=(dcos\beta,dsin\beta),\\
P的极线方程为\frac{xdcos\beta}{a^2}+\frac{ydsin\beta}{b^2}=1,\\
OP的中垂线方程y-\frac{dsin\beta}{2}=tan(\frac{\pi}{2}+\beta)(x-\frac{dcos\beta}{2}),\\
即xcos\beta+ysin\beta=\frac{d}{2},\\
可以获得交点C的坐标(\frac{(d^2-2b^2)a^2}{2(a^2-b^2)dcos\beta},\frac{(2a^2-d^2)b^2}{2(a^2-b^2)dsin\beta}),\\
则将C坐标代入椭圆方程可得d的表达式。

Lisphk

高大师，任意点一定会有这个等腰三角形存在吗？

Highflybird

Lisphk 发表于 2016-12-14 14:30

任一点？
应该是任意角度吧。

Lisphk

Highflybird 发表于 2016-12-14 14:31

从圆心上说是任意角度， 如果从等腰三角形的椭圆上的顶点来说，就是椭圆上的任意点和圆心连线都会有 等腰三角形吗？

Highflybird

Lisphk 发表于 2016-12-14 15:00

这个肯定会存在啊。

aimisiyou

切点C的坐标为\begin{pmatrix}
x \\y
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
\frac{dcos\beta}{a^2}&\frac{dsin\beta}{b^2}\\cos\beta&sin\beta
\end{pmatrix}^{-1}*\begin{pmatrix}
1 \\\frac{d}{2}
\end{pmatrix}。

Highflybird

aimisiyou 发表于 2016-12-14 15:54

对于这个题目来说，任意角度都有解，不存在无解的情况。而且存在两个解，如果算延长线的话，就存在四解。
你说的情况不成立。请仔细检查方程。

aimisiyou

Highflybird 发表于 2016-12-14 15:57

我是按坐标算出结果，可能此时中垂线和极线平行，所以求不出交点坐标。

Highflybird

看起来挺复杂的一道题目，其实到最后的结果比较简单。
假设要求的点在椭圆上的坐标为 a*cos(x),b*sin(x)
最后满足关系式：
tan(2*x)=a*b*(k-1/k)/(a^2+b^2)

另外对于如果角度不是35度，而是0度或者90度这样的特殊情况，一般来说解也容易， 其中的解的椭圆参数角
一般来说是在45度或者135度线上。

Highflybird

编写了一个LISP程序，可以对此程序化求解。

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Highflybird

aimisiyou 发表于 2016-12-14 13:34

解法很精彩。学习了。