已知一圆内接四边形边长，求此四边形

Highflybird · 发表于 2017-11-30 11:30:14

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本帖最后由 Highflybird 于 2017-11-30 11:32 编辑

如图，已知一圆内接四边形边长分别为a,b,c,d,求此四边形，或者求出此圆半径。
计算法或者几何法均欢迎贴出。

HLCAD · 发表于 2017-11-30 15:16:07

用数学法可以计算，介较复杂
利用求半径的公式及四个扇形面积和=πr2

Lisphk · 发表于 2017-11-30 16:03:18

任意的四个边长都会有解吗？

Highflybird · 发表于 2017-11-30 17:25:49

不是任意的，首要条件是边长要能满足构成四边形。
其它的限制条件暂未知。

aimisiyou · 发表于 2017-11-30 17:37:24

本帖最后由 aimisiyou 于 2017-12-1 00:07 编辑

Lisphk 发表于 2017-11-30 16:03

须满足|(a^2+b^2-c^2-d^2)/(2ab+2cd)|<=1且|(a^2+d^2-b^2-c^2)/(2ad+2bc)|<=1。

liunian0524 · 发表于 2017-11-30 17:57:19

Lisphk · 发表于 2017-11-30 18:54:47

从已知的四边形，求圆要比已知圆求四边形要容易吧？

aimisiyou · 发表于 2017-11-30 21:14:15

本帖最后由 aimisiyou 于 2017-11-30 21:37 编辑

根据几何相似性，很容易求解出相应的延长线段长度（含a,b,c,d的公式）。其实质是已知三条线段长度分别为a、b、c，能否通过尺规作图作出长度为a*b*b/(c*c)的线段？若能，如何做图？显然是可以做到的，我们可以两次利用直角三角形斜边上的高的平方等于斜边上垂足两边线段的乘积，第一步作出L1=（c*c）/a，第二步作出L2=（b*b）/L1。

/db_自贡黄明儒_ · 发表于 2017-11-30 22:06:07

分析了一下，觉得无解

；或者说同一周长对应的圆不止一个。

Lispboy · 发表于 2017-11-30 23:19:19

/db_自贡黄明儒_ 发表于 2017-11-30 22:06

我也感觉可能无解，可能解有好多
因为三点确定圆，那么第四个点一定要在圆上，才能有 A B C D，
而第四点不在圆上，那么 A B C D 就构不成圆，也就不是内接四边形。

Lispboy · 发表于 2017-11-30 23:25:16

/db_自贡黄明儒_ 发表于 2017-11-30 22:06

又理解了下题意，应该是反过来，先画个圆，然后任意选四个点，然后把圆删除了，四条边长就有了，再反算那个圆。

marting · 发表于 2017-12-1 01:42:41

应该条件不够，三角形是静定结构，不能变形，四边形不是静定结构，可以变形。
所以同样的四条边，不会对应唯一一个圆。所以只给四条边，是求不出唯一的圆心的。

一个例子，正方形可以变成四边相等的棱型。

yzhyxh · 发表于 2017-12-1 08:34:36

aimisiyou · 发表于 2017-12-1 10:19:45

marting 发表于 2017-12-1 01:42

条件已经足够了。四顶点共圆的四边形对角互补，菱形对角不是互补的吧。

Highflybird · 发表于 2017-12-1 15:24:10

本帖最后由 Highflybird 于 2017-12-1 15:25 编辑

这个是我的解法。
一个老外的解法：
https://math.stackexchange.com/q ... of-the-circle-conta
TIM图片20171201152154.png

另外在《几何学辞典》中提到的作图法：

TIM图片20171201152228.png

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