一道几何作图题

aimisiyou

已知直角三角形ABC和直角三角形BCD，P为CD上一点，现要求过P点做一直线FG交BD于F，交BC延长线于G，且满足过F点做BC的平行线交AB于E，使得EC//AG?

aimisiyou

做法如图：
1、以P为圆心，PC为半径作圆，交AC于C’；
2、过A作AH//BC’交BC于H；
3、以C为圆心，AD为半径作圆交CD于I；
4、过I作IK//BD交BC于K；
5、以BK为直径作圆，过C做该圆的切线CQ；
6、过H作HJ垂直于HB，且HJ=CQ；
7、以B为圆心，BJ为半径作圆交BC于N（N在BC线段上，非延长线上）；
8、作CG=HN，连接PG，延长PG交BD于E，EG即所求。
可以知道，三角形BEG的面积等于直角三角形ABC的面积。

aimisiyou

题目来源是在过四边形内一点做面积等分线问题中化简得出的，即在三角形A’BC中有一点P，求过P作一直线EG交A’B于E，交BC于G，使得EC//A'G？
过四边形ABCD内一点P作面积等分线，（AM为面积等分线），即转化已知三角形A’AM和P点，求过P作一直线EF交AA’于E，交A’M于F，使得EM//AF。

aimisiyou

关键是将原三角形转化为过P点的直角三角形，且共一端点B及面积相等，这个也很容易实现。最终通过面积相等来得到平行线。

aimisiyou

aimisiyou 发表于 2018-10-4 13:49
做法如图：
1、以P为圆心，PC为半径作圆，交AC于C’；
2、过A作AH//BC’交BC于H；

答案有两条直线。

aimisiyou

已知三角形ABC、AB边上一点E、BC边上一点F及三角形内一点P，要求过P做一直线MN交AC于M，交AB于N，使得MN与EF的交点为MN的中点？

aimisiyou

aimisiyou 发表于 2018-10-8 19:09
已知三角形ABC、AB边上一点E、BC边上一点F及三角形内一点P，要求过P做一直线MN交AC于M，交AB于N，使得MN与E ...

问题转化为：已知角ABC、角DBC，和点P。现要求取AB上一点E作EG//BC交BD于G点，过G作GF垂直于BC于F点，使得EF过P点。做法很简单：

1、过P点作BC的平行线交AB于M，交BD于N；
2、延长MP至H，使得PH=MN；
3、过H做BC的垂线交BC于F；
4、延长FP交AB于E，EF即所求。

aimisiyou

aimisiyou 发表于 2018-10-8 19:09
已知三角形ABC、AB边上一点E、BC边上一点F及三角形内一点P，要求过P做一直线MN交AC于M，交AB于N，使得MN与E ...

做法如图：
1、延长EF、AB交于D，连接DC；
2、做DC关于轴线DE的镜像DG；
3、过P做DE的 平行线，使得PH=r;
4、过H做HJ垂直于DE，交DC于J点；
5、过J作JN//DE交BC于N；
6、延长NP交AB于M点。MN即所求。

aimisiyou

本质上来说，第一类平行问题是通过面积相等来获得平行线，第二类中点问题也是通过面积相等来获得中点。所以过四边形内一点的面积等分线和相对边的等比线都可以通过等面积途径来实现作图。

aimisiyou

aimisiyou 发表于 2018-10-12 20:52
做法如图：
1、延长EF、AB交于D，连接DC；
2、做DC关于轴线DE的镜像DG；

纠正一下，做法不正确，PN与HJ的交点不一定在DE上。