三角形的“均衡点”

aimisiyou

如图，求锐角三角形内一点P，使得PA+BC=PB+AC=PC+AB。再扩展到任意三角形，求平面上一点P，使得PA+BC=PB+AC=PC+AB。顺带提下，能否尺规作图求出？

aisong220

aimisiyou

突然想到一个"可行"方法，即三点通过平面某种变换形成一个等边三角形，那么此时P'很容易求出，然后反算回去就得到P。将一个非等边三角形变换成一个等边三角形，那么肯定进行了非保角变换，而平面上的平移，旋转，缩放，镜像等都是保角变换，保角变换能保证长度比不变，如果能存在保证长度比不变的非保角变换那么此题就很好解决，似乎非保角变换不能保证长度比不变。

ymd

%用MATLAB可以求解
A=acos((ab^2+ac^2-bc^2)/(2*ab*ac));
A1=acos((ab^2+pa^2-pb^2)/(2*ab*pa));
pc=(ac^2+pa^2-2*ac*pa*cos(A-A1))^(1/2);
d1=pa+bc;
d2=pb+ac;
d3=pc+ab;
f1=d1-d2;
f2=d1-d3;
[pa,pb]=solve(f1,f2,'pa','pb');

>> pa
pa =

  (((ab + ac + bc)*(ab + ac - bc)^3*(ab - ac + bc)^3*(ac - ab + bc)^3)^(1/2) + ab*ac^4 + ab^4*ac - 3*ab*bc^4 + 6*ab^4*bc - 3*ac*bc^4 + 6*ac^4*bc - 3*ab^5 - 3*ac^5 + 2*bc^5 + 2*ab^2*ac^3 + 2*ab^3*ac^2 - 2*ab^3*bc^2 - 2*ac^3*bc^2 + 2*ab*ac^2*bc^2 + 2*ab^2*ac*bc^2 - 4*ab^2*ac^2*bc + 4*ab*ac*bc^3 - 4*ab*ac^3*bc - 4*ab^3*ac*bc)/(- 5*ab^4 + 4*ab^3*ac + 4*ab^3*bc + 2*ab^2*ac^2 - 4*ab^2*ac*bc + 2*ab^2*bc^2 + 4*ab*ac^3 - 4*ab*ac^2*bc - 4*ab*ac*bc^2 + 4*ab*bc^3 - 5*ac^4 + 4*ac^3*bc + 2*ac^2*bc^2 + 4*ac*bc^3 - 5*bc^4)
-(((ab + ac + bc)*(ab + ac - bc)^3*(ab - ac + bc)^3*(ac - ab + bc)^3)^(1/2) - ab*ac^4 - ab^4*ac + 3*ab*bc^4 - 6*ab^4*bc + 3*ac*bc^4 - 6*ac^4*bc + 3*ab^5 + 3*ac^5 - 2*bc^5 - 2*ab^2*ac^3 - 2*ab^3*ac^2 + 2*ab^3*bc^2 + 2*ac^3*bc^2 - 2*ab*ac^2*bc^2 - 2*ab^2*ac*bc^2 + 4*ab^2*ac^2*bc - 4*ab*ac*bc^3 + 4*ab*ac^3*bc + 4*ab^3*ac*bc)/(- 5*ab^4 + 4*ab^3*ac + 4*ab^3*bc + 2*ab^2*ac^2 - 4*ab^2*ac*bc + 2*ab^2*bc^2 + 4*ab*ac^3 - 4*ab*ac^2*bc - 4*ab*ac*bc^2 + 4*ab*bc^3 - 5*ac^4 + 4*ac^3*bc + 2*ac^2*bc^2 + 4*ac*bc^3 - 5*bc^4)

>> pb
pb =
bc - ac + (((ab + ac + bc)*(ab + ac - bc)^3*(ab - ac + bc)^3*(ac - ab + bc)^3)^(1/2) + ab*ac^4 + ab^4*ac - 3*ab*bc^4 + 6*ab^4*bc - 3*ac*bc^4 + 6*ac^4*bc - 3*ab^5 - 3*ac^5 + 2*bc^5 + 2*ab^2*ac^3 + 2*ab^3*ac^2 - 2*ab^3*bc^2 - 2*ac^3*bc^2 + 2*ab*ac^2*bc^2 + 2*ab^2*ac*bc^2 - 4*ab^2*ac^2*bc + 4*ab*ac*bc^3 - 4*ab*ac^3*bc - 4*ab^3*ac*bc)/(- 5*ab^4 + 4*ab^3*ac + 4*ab^3*bc + 2*ab^2*ac^2 - 4*ab^2*ac*bc + 2*ab^2*bc^2 + 4*ab*ac^3 - 4*ab*ac^2*bc - 4*ab*ac*bc^2 + 4*ab*bc^3 - 5*ac^4 + 4*ac^3*bc + 2*ac^2*bc^2 + 4*ac*bc^3 - 5*bc^4)
bc - ac - (((ab + ac + bc)*(ab + ac - bc)^3*(ab - ac + bc)^3*(ac - ab + bc)^3)^(1/2) - ab*ac^4 - ab^4*ac + 3*ab*bc^4 - 6*ab^4*bc + 3*ac*bc^4 - 6*ac^4*bc + 3*ab^5 + 3*ac^5 - 2*bc^5 - 2*ab^2*ac^3 - 2*ab^3*ac^2 + 2*ab^3*bc^2 + 2*ac^3*bc^2 - 2*ab*ac^2*bc^2 - 2*ab^2*ac*bc^2 + 4*ab^2*ac^2*bc - 4*ab*ac*bc^3 + 4*ab*ac^3*bc + 4*ab^3*ac*bc)/(- 5*ab^4 + 4*ab^3*ac + 4*ab^3*bc + 2*ab^2*ac^2 - 4*ab^2*ac*bc + 2*ab^2*bc^2 + 4*ab*ac^3 - 4*ab*ac^2*bc - 4*ab*ac*bc^2 + 4*ab*bc^3 - 5*ac^4 + 4*ac^3*bc + 2*ac^2*bc^2 + 4*ac*bc^3 - 5*bc^4)

aimisiyou

ymd 发表于 2020-2-4 10:05
%用MATLAB可以求解
A=acos((ab^2+ac^2-bc^2)/(2*ab*ac));
A1=acos((ab^2+pa^2-pb^2)/(2*ab*pa));

Matlab符号运算能力是真强大！通过分析，对于任意三角形，要求的点是两个双曲线（半支）的交点，结果唯一。故开始想到迭代法，但迭代法容易陷入局部最优。