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[越飞越高] 求作图,使得两相切圆半径为倍数关系

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发表于 2016-12-13 13:04:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图所示。
此题曾在工作中遇到。
答对者有奖。

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发表于 2016-12-13 14:43:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 /db_自贡黄明儒_ 于 2016-12-13 14:45 编辑

这活难干了。先算出来好干些 已知角度d和红线长度
设角度a为未知数,ACT三点求边长建立方程
1.png
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 楼主| 发表于 2016-12-13 16:22:02 | 显示全部楼层
这是一小段LISP程序,可以求解这个问题。
请点击此处下载

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文件名称:testforbwc.lsp 
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发表于 2016-12-13 23:18:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2016-12-14 08:55 编辑

根据(c-2r)^2+(a+r)^2-2(c-2r)(a+r)cosß=(2r+r)^2我们可以先求出数值解,然后用几何作图法得到长度r。比如在以P为圆心,L为半径作圆交PA延长线于M点,过M点作PC的垂线MN交PC于N点,以M为圆心,L为半径作圆O,MN延长线交圆O于Q点,则NQ=L(1-cosß),通过作反演点可以得到长度L/(1-cosß),然后八等分即得到L/(1-cosß)/8。所以问题关键在于如何做一线段长度s,s^2=d^2/(1-cosß)/4。s=(sqrt(2)*d/4)/(sin(ß/2)),故长度s可以作出来。先将d四等分,再做等边直角三角形,获得斜边长度,然后将ß二等分,通过转化可得s.
aaa.PNG

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Highflybird + 5 不错的思路。

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发表于 2016-12-14 00:12:56 | 显示全部楼层
如图,如何尺规作图,使得圆心O在PA上(暂且设定A在O的左边)且圆O过A点且与PB相切?
bb.PNG
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 楼主| 发表于 2016-12-14 09:39:20 | 显示全部楼层

ptper.jpg
如图,从A做po的垂直线交pB于C,然后做角ACB的平分线(内外平分线可得到两解)交pa与O,O便是所求圆心

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发表于 2016-12-14 12:34:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2016-12-15 14:21 编辑

你这方法应该是最简洁的。但对于复杂些的几何作图问题,有些关键的技巧点不是人人都会轻松悟出,所以建议采用通用的笨方法,先求数值解,再转化为作图。根据r/(a+r)=sinß得r=asinß/(1-sinß),后面的作图思路就多了。再比如如何尺规作图将一已知角分成两部分,且两角的正弦值比为2?通过sinx=2sin(ß-x)可得tgx=2sinß/(1+2cosß)=2Lsinß/(L+2Lcosß),所以任意取一长度L,再做一直角三角形,一边长2Lsinß,另一边长L+2Lcosß,故角度x即可获得。

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