求作图，使得两相切圆半径为倍数关系

Highflybird

如图所示。
此题曾在工作中遇到。
答对者有奖。

/db_自贡黄明儒_

这活难干了。先算出来好干些 已知角度d和红线长度
设角度a为未知数，ACT三点求边长建立方程

Highflybird

这是一小段LISP程序，可以求解这个问题。

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aimisiyou

根据(c-2r)^2+(a+r)^2-2(c-2r)(a+r)cosß=(2r+r)^2我们可以先求出数值解，然后用几何作图法得到长度r。比如在以P为圆心，L为半径作圆交PA延长线于M点，过M点作PC的垂线MN交PC于N点，以M为圆心，L为半径作圆O，MN延长线交圆O于Q点，则NQ=L(1-cosß),通过作反演点可以得到长度L/(1-cosß)，然后八等分即得到L/(1-cosß)/8。所以问题关键在于如何做一线段长度s，s^2=d^2/(1-cosß)/4。s=(sqrt(2)*d/4)/(sin(ß/2)),故长度s可以作出来。先将d四等分，再做等边直角三角形，获得斜边长度，然后将ß二等分，通过转化可得s.

aimisiyou

如图，如何尺规作图，使得圆心O在PA上（暂且设定A在O的左边）且圆O过A点且与PB相切？

Highflybird

aimisiyou 发表于 2016-12-14 00:12

如图，从A做po的垂直线交pB于C，然后做角ACB的平分线（内外平分线可得到两解）交pa与O，O便是所求圆心

aimisiyou

Highflybird 发表于 2016-12-14 09:39

你这方法应该是最简洁的。但对于复杂些的几何作图问题，有些关键的技巧点不是人人都会轻松悟出，所以建议采用通用的笨方法，先求数值解，再转化为作图。根据r/(a+r)=sinß得r=asinß/(1-sinß)，后面的作图思路就多了。再比如如何尺规作图将一已知角分成两部分，且两角的正弦值比为2？通过sinx=2sin(ß-x)可得tgx=2sinß/(1+2cosß)=2Lsinß/(L+2Lcosß),所以任意取一长度L，再做一直角三角形，一边长2Lsinß，另一边长L+2Lcosß，故角度x即可获得。