（转）已知四边形内一点，求过这点作直线平分面积

Highflybird

过该点作一直线既平分四边形周长又平分面积，怎么作？

aimisiyou

若是平行四边形就很简单了，连接该点与中心对称点所在的直线及所求。

/db_自贡黄明儒_

早有人在说面积等分的事，但从没有看到解决方案。
我的设想是：1 过点作射线，角度10等分，旋转射线，求得面积最接近的两条线
2 以最后得到两条射线的角度再10等分角度，再旋转，直到精度为满意为止。

aimisiyou

原来这条线叫“好线”。

aimisiyou

即问题转化为如下图：1、已知不平行的两直线a,b；
2、直线c分别交a、b于F、E点,(c为靠近P点的一条“好线”)；
如何做过已知点P的直线ＭＮ分别交a、b于M、N点且满足ＭE//FN?

aimisiyou

$$如图，令A(0,0),B(c,0),C(bcos\beta,bsin\beta),P(x_0,y_0),AE=d,n=\frac{bcsin\beta}{y_0}$$

$$则有：\\当y_0 < x_0 tg\beta时 \\若\frac{n}{4}-x_0+\frac{y_0}{tg\beta} <0,则无解；$$

$$若\frac{n}{4}-x_0+\frac{y_0}{tg\beta} \geqslant 0，则d=\frac{n}{2} \pm \sqrt{n(\frac{n}{4}-x_0+\frac{y_0}{tg\beta})};$$

$$当y_0 = x_0 tg\beta时\\d=n=\frac{bcsin\beta}{y_0}$$

$$当y_0> x_0 tg\beta时 \\d=\frac{n}{2}+\sqrt{n(\frac{n}{4}-x_0+\frac{y_0}{tg\beta})}$$

$$故d可以通过尺规作图得出。然后连接EP，EP所在的直线即所求$$

marting

用二分逼近法，应该能很快求出

aimisiyou

marting 发表于 2016-12-15 23:11

要是用逼近的方法，那就大大减少这题的"魅力"了。

aimisiyou

对于凸五边形，过某一顶点做一条“好线”有时也很容易。如图，F为ＢＥ中点，FG为四边形ＢＣＤＥ的一条好线，连接AG，过F作FH//AG，AH即为五边形的一条好线。

aimisiyou

如图，PB为角APC的角平分线，E、F为PB上两点（E左F右），问能否尺规作图过E作一条直线交PA于M、交PC于N且满足P、M、F、N四点共圆？

Highflybird

aimisiyou 发表于 2016-12-17 20:09

这样就可以了。

aimisiyou

Highflybird 发表于 2016-12-17 20:30

由四点共圆很显然得到两角应相等。作法如下：以PE为直径作圆，过F点作切线ＦＱ，以Ｆ为圆心，FQ为半径作圆，交ＰＣ于N、N’点，连接ＮE、Ｎ’E的直线即所求。（相割时有两解；相切时有一解；分离时无解。）

aimisiyou

其实过四边形内一点作面积等分线可以转化为过三角形内一点作面积比1：K的直线。

aimisiyou

先考虑过三角形内一点P作面积平分线问题。
如图，D、E、F分别为ＢＣ、AC、ＡＢ的中点，三角形ABC三条角平分线交于I。
则Ｐ点落在三个区域内（先不考虑Ｐ在角平分线上的情况）。
当P确定在某一区域时，选取逆时针方向邻接区域边上的中点对应。
假设Ｐ落在BIC区域内，则过P作面积平分线如下：
1、选取Ｅ点，连接PE、PC；
2、做三角形BCM相似于三角形PCE；
3、过P作AC的平行线交MC于Ｈ点；
4、过MHP三点做外接圆交BC于Q点；
5、连接PQ的直线即所求。
当P点在某条角平分线上但非内心时，仍按上述步骤。
当P点为内心时，H与P重合，不能做三点共圆。须另外加以分析。

aimisiyou

当H与P未重合时（即P非内心时），角QMC=角HPR=角QRC；当P为内心时，虽然Ｈ与Ｐ重合，但角QMC=角QRC保持不变，即QＭＲＣ四点共圆。其做法见１２楼。如果所作圆未与边相交，那么是开始选取的中点不对。可以肯定三个中点，必有一个中点满足作图。