（转）已知四边形内一点，求过这点作直线平分面积

aimisiyou

当P为内心时，给出一次性作图满足要求的做法（为避免尝试去选取三条边的中点作图再查看结果是否满足的繁琐性）
1、选取最长边的中点，如图中D点；
2、作D点关于某条角平分线的对称点Ｄ’，使得Ｄ’在最短边所在直线上；
3、作ID’C的外接圆，延长AI交该圆于M点；
4、以ＡＩ为直径作圆，过Ｍ作该圆的切线MQ；
5、以M为圆心，MQ为半径作圆交最短边AC于Ｈ点；
6、连接HI的直线即为过内心I点平分三角形ＡＢＣ的面积平分线。

革天明

看大家的意思是做图，我本来也是想使用一条辅助线通过旋转来求两边周长相等的点

Highflybird

现在我的结论是：
等分面积的确定有解，等分周长的不一定有解。它们都可以有多个解。譬如3个解。
通过求解，发现它们都可归纳为一元二次方程的求解，因而它们都是可以用作图法得出。
另外等分面积的解和等分周长的解一般情况下不同。

Lisphk

Highflybird 发表于 2016-12-23 14:44

为什么等分周长没有解呢？ 曲线中点分开的两部分不就相等吗

Highflybird

Lisphk 发表于 2016-12-23 14:59

请注意题目要求：要经过里面一点.
没有这个限制，当然有解。

Lisphk

Highflybird 发表于 2016-12-23 16:45

既然是浮点数，等分也不会是绝对的相等吧，是近似的相等吧，只要设置合理的容差，我想应该能等分周长，任意分下，总存在一个长的，一个短的，只要不断的旋转线，总会“逼近”两侧线段相等。

Highflybird

Lisphk 发表于 2016-12-23 16:53

问题是四边形的这种变化并不是连续的，因为有四个突变点（顶点），这条线经过顶点的时候，函数值就会不连续。
如果考虑凸四边形，可能都存在解，但是如果是凹四边形的话，可能就不存在解。
对于凸四边形，是不是一定存在解，我暂时还不能理论上证明。

Lisphk

Highflybird 发表于 2016-12-23 21:50

凹多边形确实是很复杂的，所以很多应用和算法都是假定在 凸多边形下的，实际工作中也是要把凹多边形做凸多边形化。
如果是在凸多边形，不连续也没什么问题，只要用两侧多边形不断的“逼近”，就能找到“容差”允许下的等长度。二分查找法也会很快的“收敛”。

aimisiyou

Highflybird 发表于 2016-12-23 14:44

好像没有三个解吧？哦，应该有，譬如三角形的重心。

Highflybird

aimisiyou 发表于 2016-12-26 18:34

在一般三角形内，只存在一点，通过这点有一条或者多条线段既能等分三角形面积，也可等分三角形周长。
这一点就是三角形的内心。

Highflybird

对于凸多边形来说，这个题目也存在确定解。
一般做法是：通过多边形的两条边上找两点，满足即通过指定点，又能等分多边形的线段。
而这些解最终都能统一为求解 在一个角内，求通过指定点的符合指定面积（或者长度）的线段。而这个解一般情况下是一元二次方程的解。
所以。对于多边形的这个题目的算法理论时间复杂度是O(n^2).  

Highflybird

关于这个题目的几何作图法，请参考如下帖子：
http://bbs.mjtd.com/thread-71974-2-1.html
http://bbs.mjtd.com/forum.php?mod=viewthread&tid=57116

aimisiyou

aimisiyou 发表于 2016-12-15 22:55
$$如图，令A(0,0),B(c,0),C(bcos\beta,bsin\beta),P(x_0,y_0),AE=d,n=\frac{bcsin\beta}{y_0}$$$$则有：\\ ...

http://bbs.xdcad.net/forum.php?m ... p;extra=#pid3683546。详见6楼几何作图法。