[转贴]：陀螺与单摆---陀螺为什么不倒

HuJ

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陀螺与单摆……想知道陀螺为什么不倒的朋友请进来

以下资料全为转帖。。。供大家讨论。。。请勇于发言！！！！




下面的这个图各位很熟悉吧！这就是我们司空见惯的陀螺。你看它受到了重力，但是却不掉下来， 自转轴顽强地保持水平状态，并神奇地产生了水平面内的旋转，这就是陀螺的运动特性，学术用语是“刚体绕定点旋转”。
　　几乎所有的人都接触过陀螺，不知有多少人想过它为什么会这样。早在十七世纪，陀螺问题是著名的世界难题，号称“数学水妖”，吸引了众多的名家潜心研究，欧拉、拉格朗日等泰斗都曾为此付出心血，但是却没有找到最终答案。为此，法国科学院曾三次向全世界征解，最终由俄国天才女数学家索非亚于1888年借用椭圆积分中的阿贝尔函数解决，陀螺问题告一段落。
    今天，已经无从查考法国科学院当年征解的题目是什么，只模糊地知道是“刚体绕定点转动问题”，这或许应该分解为两个问题，一是陀螺运动的规律，也就是刚体绕定点转动时的数学描述；二是陀螺为什么不倒，也就是表面运动规律背后的原因。
　　前人对陀螺的分析都借助了角动量（动量矩）守恒，利用数学中的矢量计算规则（叉积）建立方程，精确求解陀螺在各种情况下的运动状况，索非亚的陀螺模型最为复杂，仍然可以用数学方程加以描述，由此可见对陀螺运动规律的研究已经尽善尽美。但是赞美之余，总觉得还有些缺憾，这些非凡的成就可以说对陀螺运动的表面现象总结的极为透彻，但是好像没有说清陀螺为什么不掉下来。
　　角动量守恒定律指出，旋转的陀螺角速度矢量与重力矩的乘机遵循右手螺旋定则，即它们的叉积垂直于两矢量决定的平面，因此陀螺重心的运动也将遵循叉积的方向。
　　这实际上可以简化为：因为旋转的陀螺重心不沿重力方向运动（不倒），所以它就不倒！这好像是自身印证，并没有说明问题。
　　如果法兰西科学院征解的题目是“陀螺为什么不倒”，可以说此问题至今无解。

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陀螺究竟为什么不倒？这个原因本应简洁清晰，就象f=ma一样能够被人们理解接受，因为陀螺现象在宇宙中最为普遍，大至天体星系，小至电子光子，以及我们日常所见任何旋转的物体，都遵循着陀螺运动规律。如此普遍的、触目可及的现象，理应有一个根本的、简洁的解释。
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??一、简化陀螺
??为方便分析，将陀螺简化为匀质薄圆盘，并选圆盘边缘一质点ｍ进行分析。
??下面将以表盘标示陀螺旋转盘

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二、质点的运动
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　　陀螺受到重力与支点的反作用力共同作用，将产生如下的运动。上沿质点m产生向右垂直于自转平面的加速度a，同时下沿质点向左出现加速度a。

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根据牛顿第二定律，f=ma，既然有加速度，必然存在同方向的力f，因此陀螺的旋转盘受到了力偶MgL的作用，产生了以直径为轴的翻转。
　　外力矩=MgL
　　陀螺的下倒实际上就是圆盘在MgL的作用下，出现以图中H为轴的翻转。 　
　　 　　　　　　　　　　
　　（定义陀螺自转轴方向为轴向）
　　由于圆盘翻转，质点m在不同的位置获得不同的轴向加速度，12、6点处值最大为A，方向相反，t时刻为a=Asin(ωt)。其所受力为f=ma=m Asin(ωt)，mA=F，因此f=Fsin(ωt)。
　　由于圆盘自身以角速度ω自转，因此可知，质点m在轴向受到周期性力f的作用。受力（加速度）分布见图

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三、简协受迫振动
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　　建立以圆盘中心为原点、与圆盘自转速度相同的旋转坐标系，在此坐标系内观察圆盘中心与质点m连线的运动，可以发现这是一个以R为摆长，质点m为摆锤，受周期力f=Fsin(ωt)作用的单摆。其摆动周期为2π/ω。 质点m作受迫振动。

　　关于单摆，摆锤的受力与运动的关系可以叙述为：
　　摆锤受力最大时，其运动速度最小（瞬间静止）；摆锤受力最小时（ｆ=0），其运动速度最大，此时质点处于3、9点位置，运动速度就是陀螺以12、6连线为轴翻转时边缘的最大线速度，与圆盘半径的比值就是进动角速度。
　　因此，质点m在轴向的速度变化始终比加速度落后90度。
　　即 f(t)=Fsin(ωt)
  　　 a(t)=f/m=Fsin(ωt)/m
　   　 v(t)=Fsin(ωt+π/2)/mω=Fcos(ωt)/mω

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四、分析
　　圆盘上所有质点都遵循着简谐振动的规律。
　　质点速度（运动）分布见图
　　　
　　质点m在运行一周的过程中，12、6两处受力最大但速度为0，3、9两处速度最大但受力为0，因此，质点每运行一周，其运动轨迹将沿竖向轴偏转一个角度。
　　??
　　圆盘上所有质点以3、9连线为轴，上下两半部分运动相互抵消，因此圆盘不出现以3、9连线为轴的翻转。（定轴性）
　　所有质点以12、6连线为轴，分左右两部分，运动方向相反，运动效果累加，因此圆盘整体将以12、6连线为轴，出现翻转。（进动性）

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五、继续深入
　　揭开陀螺问题的关键，在于将陀螺的下倒理解为旋转盘的翻转（自转轴方向变化），陀螺上的质点在做高速圆周运动的同时，在轴向出现高频振荡。从而引起上述分析结果。 下面进行定量分析 　　　　　　　　　　　　　　
　　??
六、受力与运动分析
　　质点m受周期力f=Fsin(ωt)作用，周期为2π/ω。根据以上分析:
　　在6、12点处加速度最大，A=F/m，但运动速度为0；
　　在3、9点位置，其受力（加速度）为0，速度最大（也就是摆锤到最低点，f=0，a=0）
　　??
　　I……圆盘转动惯量（以直径为轴，上图的3、9连线）
　　Q……外力矩
　　α……角加速度
　　根据刚体转动定律有
　　α=Q/I　
　　12点处的加速度A=αR=QR/I；
　　??
　　质点受力F=mA=mQR/I……（1）
　　??
　　质点m自此点开始，旋转至9点处，时间t=π/2ω，f=Fcos(ωt)，此时速度为:
　　v=Fsinωt/(mω)=F/(mω)
　　v是质点到9点时，离开原自转平面的速度，也就是圆盘以12、6为轴翻转时9点的线速度，因此圆盘以竖直轴翻转的角速度:
　　??
　　Ω=v/R=F/(Rmω)……（2）
　　??
　　将（1）代入（2）得：
　　??
　　Ω=mQR/IRmω=Q/Iω……（3）
　　??
　　具体到实际的陀螺，外力矩Q=MgL，其进动角速度
　　Ω=Q/Iω=MgL/Iω……这刚好是我们熟悉的进动角速度公式。

HuJ

终于将角动量守恒和f=ma联系起来，为矢量叉乘的方向问题找到了理论依据，纯粹从力与运动的角度揭开了“陀螺不倒”秘密。
　　??
　　事情还没有结束，由此引出的问题或许更为艰难：
　　??
　　 对一个特定环境下的特定的陀螺，外力矩MgL和自转角速度ω都存在一个临界值，外力矩一定时自转角速度必然有个最小值、自转角速度一定时外力矩必然有个最大值，在此范围内陀螺作规则运动，一旦越界，陀螺将不能保持平衡而倾倒，这个临界值如何确定？？？？
　　??
　　 质点受迫振动的运动方程是常微分方程，尤其是阻尼振动，更加复杂，与椭圆积分有关。（1888年索非亚就是利用椭圆积分解决的陀螺问题，不知具体内容，或者我正在她走过的路的起点上？）
　　??
　　以下摘录有关资料上的几段话：
　　“上式是振动系统的振动特性与驱动力间的关系式，称为频率特性。注意到其第一项是随时间衰减的，在经过一段时间之后这一项将衰减到可以忽略的程度，这个衰减过程常称为系统的过渡过程，最后仅剩下第二部分。因此我们也可只讨论第二部分的特性。”
　　??
　　这里似乎论述的是“章动”。
　　
    “综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点：
　　⑴在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增加到某—临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为混沌。”
　　??
　　这也许就是我们希望找到的“最大外力矩的临界值”。
　　??
　　“设驱动力振幅F保持常数，而驱动力频率n由小到大值缓慢增加，这时振幅逐渐增加，即共振点由1运动至2。然而在到达点2后，如再继续增加n值，则振幅A发生向上跳变，由点2跳到点3，并伴随着解x的相位反相。再继续增加n值，则振幅逐渐减少。当n值由大到小减少时，开始振幅逐渐递增加，在到达点4后，再继续减小n值时，振幅又发生一次跳变到低值，振幅由4一下跳到最低值，同时振动相位又将出现一次反相。”
　　??
　　这应该就是“最小自转角速度的临界点”

HuJ

整篇论述最高只用到了普通积分，最后引申的部分用到了微分方程，也是极普通的，而且不是重点……
   
当质点m受周期力f(t)=Fcos(ωt)作用，

其任意时刻的加速度a(t)=f/m=Fcos(ωt)/m应该没有问题，

那么假定初始条件t=0， v=0，
任意时刻的速度v(t)=？

请朋友们指点……

在前面的定量分析中，我的问题就出在这里

HuJ

陀螺与单摆---陀螺为什么不倒

HuJ

陀螺仪由四个乒乓球大小的旋转石英球组成，它们给安置在围绕地球的运行轨道上。这种球要极端规则，因为任何不规则都将产生出比广义相对论所预言的要大得多的影响。该球必须很圆，其圆的精确度要达到构成球的原子的量级，要比地球圆10000倍以上。……

……整个装置灵敏得惊人。你大概还没有忘记，太阳引起的恒星光线的偏转度约为1弧秒，该角度相当于一个长为1公里、厚边的高度为4毫米的楔形所形成的角度。而陀螺仪的精度为毫弧秒，这一角度相当于长为1000公里、厚边的高度为4毫米的楔形所形成的角度。这种陀螺仪的创造堪称人类的一大奇迹，简直可与“蒙娜丽莎”或埃及的金字塔相等同。1973年，人们称这个石英球陀螺仪为“在1978年飞行的2000万美圆的实验”。……

我困惑的是，为什么？？
谁都清楚球体的加工要比圆盘的加工复杂得多，美国人为什么舍简就繁？？
而且圆盘的方向变化更加容易观察，他们选择球体有什么特殊理由吗？

HuJ

由经典进动角速度公式可知，陀螺的进动只与相对于自转轴的转动惯量有关，那么设想有一圆盘，其质量为M，转动惯量（自转轴）I=MRR/2，其进动角速度Ω=Q/Iω……Q为陀螺所受外力矩；ω为陀螺自转角速度。

现在假想圆盘有厚度L，由于L不影响陀螺进动角速度，所以它可以是任意值，陀螺质量M不变，密度变化，进动角速度都会相同。

当L趋于无穷大时，也就是说无限长的细棒，自转角速度和所受外力矩均不变的情况下，此细棒进动角速度仍然为Ω=Q/Iω

但是细棒相对于与其垂直的轴（图中红色轴）的转动惯量为I=MLL/12，可见当L趋于无穷时，其转动惯量也趋于无穷大，即任何力量也不能改变它的方向。

此结果与进动角速度公式推论矛盾。