等比问题

xdj86 · 发表于 2018-9-4 21:30:51

看看，什么解决办法

aimisiyou · 发表于 2018-9-5 10:12:35

本帖最后由 aimisiyou 于 2018-9-5 13:18 编辑

如图，AB为直径、CD为直径，转化为过P（P在EF上）做一条线段，使得P为该线段的中点，如何作图？进一步，P若不在EF上，如何过P做一线段，使得该线段与EF的交点为该线段的中点？

aimisiyou · 发表于 2018-9-5 11:12:17

本帖最后由 aimisiyou 于 2018-9-5 21:15 编辑

以EF为X轴，E为原点，令A点坐标为（x1,y1）,P点坐标（a，0），AD斜率为k12,BC斜率为k34，则a与斜率k的关系式：
k*a*(k12+k34)+k*(k34-k12)*x1-2a*k12*k34-(k34-k12)*y1=0，当P在EF上时，由a可得出K值；当P（x0,y0）不在EF上时，令该线段的中点P'坐标（a,0），则y0=k(x0-a),由两式可解出a。连接PP'所在线段即所求。

453055586 · 发表于 2018-9-5 14:14:37

看看，学些下

Highflybird · 发表于 2018-9-5 20:14:11

aimisiyou 发表于 2018-9-5 10:12
如图，AB为直径、CD为直径，转化为过P（P在EF上）做一条线段，使得P为该线段的中点，如何作图？进一步，P若 ...

嗯，不错，发现了一个好推论。

aimisiyou · 发表于 2018-9-5 21:46:15

本帖最后由 aimisiyou 于 2018-9-6 00:14 编辑

当P在EF上时，做法很简单。即过P做AB的平行线GH交AF于G，交BF于H，过G做GM//CD交AD于M，过H做HN//CD交BC于N，连接MN即所求。当P不在EF上时，P（x0,y0）,令P’（a,0）,则k=y0/(x0-a),带入K，a关系式k*a*(k12+k34)+k*(k34-k12)*x1-2a*k12*k34-(k34-k12)*y1=0中，即2*k12*k34*a^2+[(k12+k34)*y0+(k34-k12)*y1-2*k12*k34*x0]*a+(k34-k12)*(x1*y0-x0*y1)=0求得a ，后续按P'在EF上的情况作图即可。（顺带提下另一个简洁思路，根据PM+2PP'=PN,三个三角形内，每一个都是求其内斜线长度，只是三个根号的等式解起来就复杂了。）

Highflybird · 发表于 2018-9-5 21:49:43

把我的新发现贴出来：
这个题现在变得很有趣了。
不知道这个发现是不是什么定理。
现发此贴为证。

aimisiyou · 发表于 2018-9-6 10:00:09

本帖最后由 aimisiyou 于 2018-9-6 10:41 编辑

Highflybird 发表于 2018-9-5 21:49
把我的新发现贴出来：
这个题现在变得很有趣了。
不知道这个发现是不是什么定理。

笛沙格定理吧。只要根据交比得出一个三线共点，那么其他的都是三线共点。（三线平行视为交于无限远点）

aimisiyou · 发表于 2018-9-6 14:22:54

本帖最后由 aimisiyou 于 2018-9-6 14:28 编辑

类似梅涅劳斯定理，凸四边形每边上取一点，若满足比例乘积为1，如图四边形中(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH/HA)=1，是否三线共点？（通过做图是三线共点的）。如何证明？

Highflybird · 发表于 2018-9-6 16:27:00

本帖最后由 Highflybird 于 2018-9-6 16:29 编辑

aimisiyou 发表于 2018-9-6 14:22
类似梅涅劳斯定理，凸四边形每边上取一点，若满足比例乘积为1，如图四边形中(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH/H ...

有点意思。

Highflybird · 发表于 2018-9-6 17:26:57

aimisiyou 发表于 2018-9-6 14:22
类似梅涅劳斯定理，凸四边形每边上取一点，若满足比例乘积为1，如图四边形中(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH/H ...

可以用射影的交比性质来证明。

Highflybird · 发表于 2018-9-6 21:16:14

本帖最后由 Highflybird 于 2018-9-6 21:35 编辑

aimisiyou 发表于 2018-9-6 14:22
类似梅涅劳斯定理，凸四边形每边上取一点，若满足比例乘积为1，如图四边形中(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH/H ...

现在对aimisiyou所说的四边形的梅涅劳斯定理做简要证明：:首先预证如下定理：
等比问题的发现1.jpg

然后根据这个再证明：
等比问题的发现2.jpg

因此，这个问题得证。
那么根据这个性质和笛沙格定理，很容易证明我在22楼说的那三条结论了。

aimisiyou · 发表于 2018-9-7 13:22:02

本帖最后由 aimisiyou 于 2018-9-7 14:21 编辑

Highflybird 发表于 2018-9-6 21:16
现在对aimisiyou所说的四边形的梅涅劳斯定理做简要证明：:首先预证如下定理：

然后根据这个再证明：

假设P是直线CA上一点，过P的两条直线分别交四边于E、F、G、H'，由梅涅劳斯定理，
AE/BE*BF/FC*CP/PA=1,
CG/GD*DH'/H'A*AP/PC=1,
两式相乘，即得(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH'/H'A)=1.
现AD上有一点H，满足(AE/EB)*(BF/FC)*(CG/GD)*(DH/HA)=1,
可得DH’/H’A=DH/HA,于是H=H'.问题得证。

Highflybird · 发表于 2018-9-7 16:55:00

aimisiyou 发表于 2018-9-7 13:22
假设P是直线CA上一点，过P的两条直线分别交四边于E、F、G、H'，由梅涅劳斯定理，
AE/BE*BF/FC*CP/PA=1,
...

很好，简洁的证明！

aimisiyou · 发表于 2018-9-10 11:26:52

本帖最后由 aimisiyou 于 2018-9-10 11:37 编辑

跟等分面积的问题是否可以归为一类问题？即已知四边形及内部一条线段MN，过四边内一已知点p做一线短段EF，使得EF满足一定的条件。如ME//NF，此时等分面积；如EF与MN的交点为EF的中点，此时等比。

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